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Projet "Variationnel et multiéchelle sur les variétés"

 

 

Mots clés

Analyse harmonique, représentations parcimonieuses, approche statistique, approche variationnelle, EDP, modèles géométriques, modèles topologiques.

Permanents :

Abder Elmoataz (PR), Jalal Fadili (PR), Jean-Marie Janik (MCF), Stéphanie Jehan-Besson (CR1), Olivier Lézoray (PR), Julien Rabin (MCF), Sophie Schupp (MCF), Loïc Simon (MCF), David Tschumperlé (CR1). 

Motivations

Les imageurs modernes fournissent des données de plus en plus complexes, dont les échantillons sont acquis sur des grilles non nécessairement cartésiennes équi-espacées et ne sont pas forcément à valeurs scalaires. En plus des données vectorielles que sont les images couleurs, multi-spectrales, ou multi-modalités, nous assistons à l'apparition de données très riches dont les valeurs structurées obéissent à des contraintes non linéaires. On peut voir ces données comme une application f : Ŵ → V, où V est une variété. Des exemples typiques de V sont S1 ou S2 (données de direction, polarisation), SO(3) (données d'orientation 3D), les matrices définies-positives (typiquement en IRM de diffusion), les variétés grassmaniennes (données projetées dans un sous-espace de Rd). En outre, de nombreux problèmes en traitement d'image reposent sur un traitement non local de l'information, ce qui peut se traiter en considérant V comme un espace de patchs. Pour le domaine Ŵ, outre les treillis de Rd, les exemples incluent la sphère, les sections coniques, les surfaces, ou encore le cas important des graphes .

Verrous à lever

Des efforts particuliers devront être fournis vis-à-vis des points durs suivants :

- Des constructions de la transformée en ondelettes ont été proposées pour certaines variétés non Euclidiennes dont la sphère, les variétés compactes différentiables, les variétés lisses (ondelettes de diffusion), ou encore les graphes. Malgré des travaux prometteurs, beaucoup reste à faire dans ce domaine.

- L'analyse par ondelettes dans le cas où Ŵ est une grille Cartésienne, mais où V est une variété quelconque a été considérée dans la littérature par très peu d'auteurs. Leur représentation multiéchelle s'appuie sur le schéma de raffinement (par interpolation) de Deslauriers-Dubuc, agissant dans le plan tangent de la variété.

- La formulation des problèmes de traitement de données implique dans beaucoup de situations de minimiser des fonctions objectives non lisses ou non convexes. Malgré l'intérêt considérable suscité notamment par l'analyse convexe, l'optimisation non lisse ou non convexe demeure peu développée. Des algorithmes rapides, avec les garanties théoriques de convergence, restent à concevoir.

Démarche

Afin d'aborder les thématiques de ce projet, les participants s'appuieront sur leurs compétences en approches variationnelles, EDP et EdP sur les variétés, représentations parcimoneuses multiéchelles, analyse harmonique, optimisation, théorie de l'échantillonnage, et problèmes inverses. Ils continueront par ailleurs leur investissement dans différents domaines d'application, en particulier autour de l'imagerie (bio-)médicale et astronomique. Quelques perspectives qui nous apparaissent pertinentes à explorer sont les suivantes : - La conception d'analyses multiéchelles (autre que les ondelettes) ou de schémas de raffinement pour des fonctions définies sur des variétés à valeurs dans des variétés, comme les ensembles de patchs ou les données de polarisation sur la sphère en imagerie astronomique. Cet axe nécessitera des compétences théoriques, parmi lesquelles la théorie des groupes et algèbres de Lie, la théorie des matrices aléatoires, ou encore l'analyse spectrale sur graphes. Aussi, des compétences de mise en oeuvre et d'implémentation rapide sont requises. - À l'aide de ces méthodes d'analyse adaptées aux variétés, nous nous attaquerons à des problèmes de traitement de données correspondants, comme la reconnaissance, la détection, la segmentation, et les problèmes inverses tels que la restauration et la reconstruction. En particulier, la photographie computationnelle connaît un essor considérable avec l'avènement dans nos sociétés du « tout numérique ». La capture d'images couleurs 2D ou 3D et tous les traitements post-acquisition reposent sur des techniques modernes de traitement du signal et des images. Dans ce vaste domaine, les méthodes d'analyse et d'optimisation sont d'un grand secours pour la conception conjointe et robuste des processus de reconstruction et restauration requis.

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