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Projet "Modélisation géométrique et topologique"

 

 

Mots clés

Modèles géométriques, modèles topologiques.

Permanents :

Sébastien Bougleux (MCF), Luc Brun (PR), Sébastien Fourey (MCF), Amal Mahboubi (MCF), Myriam Mokhtari (MCF). 

Motivations

Le caractère discret de la réalité pressenti par Démocrite impacte notre réalité quotidienne où nous devons manipuler des ensembles finis ou dénombrables d'objets en relations. Bien que beaucoup de phénomènes puissent être approximés par les mathématiques continues, de nombreux objets restent intrinsèquement discrets. Les formalismes mathématiques permettant de décrire ces objets varient en fonction des espaces dans lesquels ils sont plongés : La géométrie discrète a pour objet l'étude des propriétés géométriques et topologiques d'objets définis sur des pavages réguliers. La géométrie algorithmique étudie quand à elle les propriétés d'un ensemble discret de primitives géométriques plongées dans un espace continu. Les objets définis comme des partitions d'espaces de type pseudo-variété non-orientable (ou orientable) sont quant à eux efficacement décrits par le formalisme des cartes combinatoires. Enfin, la théorie des graphes décrit les objets ne présentant pas de plongements spécifiques. L'objet de ce thème est la modélisation, le traitement et la mesure de similarité entre objets discrets à l'aide des outils mathématiques décrits précédemment.

Verrous à lever

La reconnaissance d'objets discrets se heurte depuis la fondation de cette discipline à deux verrous importants et intimement liés : 1. Les espaces d'objets discrets ont généralement peu de propriétés. Une des principales lacunes de ces espaces est la notion de distance entre objets discrets qui ne définit généralement pas une métrique. Cette lacune ferme aux objets discrets des pans entiers des mathématiques dont de nombreuses méthodes de classification. Calculer la moyenne d'un ensemble de graphes est un exemple de problème difficile du fait du faible nombre de propriétés de ces espaces. 2. La modélisation discrète d'objets bruités implique un niveau d'abstraction supplémentaire via la notion de classe afin de capturer la notion de variabilité intra classe. Dans le cas continu, une classe est souvent modélisée par une distribution. Ce type de phénomène est pour l'instant peu modélisé dans le cas discret ce qui rend délicat la définition de classe d'objets à partir, par exemple de modèles statistiques. Notons toutefois que la définition d'une métrique sur un espace discret est un grand pas vers la définition des modèles statistiques.

Démarche

Nous comptons étudier les notions d'espaces discrets définis à partir de différentes métriques. Une des approches que nous comptons privilégier est la notion de noyaux sur graphes. Les méthodes de noyaux sur graphes apparues récemment permettent un plongement des objets discrets dans des espaces de Hilbert, ouvrant ainsi l'ensemble des méthodes statistiques et variationnelles aux espaces discrets. Notons toutefois que cette ouverture se paye encore par une mesure de similarité qui reste généralement moins précise que les mesures issues de méthodes d'appariement. Dans le cadre des graphes, nous comptons approfondir les propriétés des noyaux en étudiant notamment la définition de noyaux à base de motifs complexes et la notion de distance entre sacs de motifs. Des applications en chémoinformatique et en reconnaissance de formes sont envisagées. Dans le cadre de la reconnaissance d'objets 3D, nous comptons traiter le problème du bruit et de la distance intra-classe à l'aide d'une segmentation ascendante hiérarchique de surfaces polygonales 3D basées sur des critères énergétiques et des coupes optimales dans des hiérarchies (à l'image de ce que nous avons déjà réalisé dans le cadre de la segmentation d'images). Une première étape consistera à mettre en place le modèle en utilisant des critères énergétiques sans a priori sur les primitives géométriques composant les objets. La seconde étape consistera à étendre ces travaux pour décomposer une surface polygonale en un ensemble hiérarchique de primitives. Enfin, nous pensons lier ces travaux au premier projet en étudiant des méthodes d'appariement de formes basées sur la décomposition hiérarchique de celles-ci induite par la segmentation. Nous étudierons deux approches duales : des noyaux sur graphes définis directement sur la segmentation hiérarchique de la surface polygonale et des noyaux définis sur les simplifications successives du squelette initial induit par la segmentation. Ce projet combine les compétences des acteurs en géométrie algorithmique, modélisation topologique et segmentation.

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