Séminaire Algorithmique : « Cluster dans les triangulations munies d’un modèle d’Ising », Marie Albenque (IRIF, Univ. Paris Cité)

Dans cet exposé, je ferai un panorama de résultats autour des triangulations aléatoires munies d’un modèle d’Ising. Dans ce modèle, les triangulations sont tirées aléatoirement avec une configuration de spins sur leur sommets (autrement dit un coloriage en deux couleurs des sommets), avec une probabilité qui dépend du nombre d’arêtes monochromatiques pour ce coloriage, via un paramètre nu. Le fait qu’il existe une valeur critique pour nu a d’abord été établi dans la littérature physique par Kazakov et des preuves combinatoires bijectives ont ensuite été données par Bousquet-Mélou et Schaeffer et par Bouttier, Di Francesco et Guitter.

Dans cet exposé, je mettrai en évidence que ce modèle exhibe une transition de phase géométrique via l’étude de ses clusters monochromatiques. En particulier, nous avons établi que lorsque nu est critique ou sous-critique, le cluster de la racine est fini p.s., et est infini avec proba positive quand nu est surcritique.

Cet exposé est basé sur des résultats en collaboration avec Laurent Ménard et Gilles Schaeffer. Résumé à venir.