Séminaire Algorithmique : « Percolation Bootstrap (ou d’amorçage) sur les pavages de Penrose », Victor Lutfalla (I2M, Univ. Marseille)

Les pavages de Penrose sont des pavages non-périodiques du plan par losanges. Dans cet exposé, je vais présenter la percolation dynamique sur ces pavages, c’est-à-dire un processus de contamination sur ces pavages depuis une configuration initiale aléatoire. Étant donné un pavage de Penrose, on met sur chaque tuile un état 0 ou 1. On fait évoluer ces configurations par l’automate cellulaire de percolation Bootstrap ou de contamination 2-voisins : l’état 1 est stable et une tuile en état 0 devient 1 si elle a (au moins) deux voisins 1. On dit qu’une configuration percole lorsque sa configuration limite est 1-uniforme, c’est-à-dire que lorsqu’on itère la percolation Bootstrap toutes les cellules deviennent contaminées. On note B l’ensemble des configurations qui percolent. On prouve que pour toute mesure de Bernoulli μ (de paramètre strictement positif d) on a μ(B)=1. En d’autres mots, pour tout paramètre positif d, lorsque l’on tire au hasard une configuration initiale c sur un pavage de Penrose selon une distribution de Bernoulli de paramètre d, la probabilité que c percole est de 1.

Rappel de probabilités (distribution de Bernoulli): dire qu’une configuration c est tirée selon une distribution de Bernoulli de paramètre d signifie qu’on a une pièce pipée qui tombe sur 1 avec probabilité d et sur 0 avec probabilité 1-d, et qu’on tire notre configuration c en tirant pour chaque tuile (indépendamment) notre pièce pipée.

Slides (en anglais) disponibles sur https://lutfalla.fr/documents/slides_bootstrap.pdf.